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标题: 你突然变成一个“2B”的概率有多大 [打印本页]

作者: 168主编 时间: 2020-2-6 18:53
标题: 你突然变成一个“2B”的概率有多大
引言

由于武汉疫情影响，大家都把自隔离在家。最近网络流行一组来自“刘小兔爱画画”的漫画作品《看了这个逻辑关系图，才更清晰为何不让你随便外出了》。我们先回顾一下这组漫画：

把现在的人群分为四类 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。

$A$ 是有武汉接触史的人，目前分散于全国各地，容易找出来，现在已经找出来很多。

$A$ 在公共场所遇到过素为平生绝不认识的 $B$ ， $A$ 不知道 $B$ 的存在， $B$ 也不知道 $A$ 的存在。

$A$ 到达目的地后接触了 $C$ ，无论接触了多少 $C$ ，这些 $C$ 都容易找。

官方已经找到了 $A$ 、 $C$ 并对他们进行了隔离。

$D$ 是居家没有外出的人。

现在最大的隐患是 $B$ ，根本找不到，没有人知道谁是 $B$ ，自己也不知道自己是 $B$ 。

$D$ 只要出门，就有碰到 $B$ 的可能性，自己也就是 $2B$ （新的 $B$ ）了。

这组漫画非常生动地解释了肺炎的传染途径，以及为什么不要随便出门的原因。不过大模头已经快控制不住我技己了，相信你也很想出去逛逛。所以想知道要是随便出个门，突然变成一个“2B”的概率有多大？

模型

本文不考虑你是 $A$ 的情况。你是不是 $A$ ，你有没有去过武汉，你是不是从武汉回来的，你心里没点哔数么？因此，你是不是 $A$ 不需要算，你自己心里清楚。

你身边有多少 A？

武汉市前市长周先旺表示：春节和疫情因素的影响，大概 500 多万（本文的计算中取550万）人离开了（武汉）这座城市，还有将近 900 万人生活在这个城市[1]。

如果你生活在武汉，那么你生活的城市处处都是 $A$ ，本文不讨论这种情况。这种情况下请保护好你技己，做到不要成为 $A^2$ ， $A^3$ ， $\cdots$ ， $A^n$ ，其中 $n<900$ 万。

那么除了还在武汉市内的 $A$ ，全国其它地区共有 550 万 $A$ 。大数据 \cite{shangyexinzhi} 显示这 550 万中有近 450 万都去了湖北省内的其它城市。也就是说除了湖北省，全国其它省市大约有 100 万 $A$ 。我们假设这 100 万 $A$ 按人口比例均匀分布在全国所有人口中。本文假设你生活在北京，北京人口大约为 2500 万左右，约占全国总人口的 1.8%。按照这个假设，北京的 $A$ 数量为

$100\,\text{万} \times 1.8 \% = 1.8\, \text{万} \\$

假设这 1.8 万个 $A$ 随机的分布在所有北京人口当中，那么你在北京随机遇到一个人，这个人是 $A$ 的概率为

$\frac{1.8}{2500} = \frac{7.2}{10000} \\$

万分之七的概率看起来并不高，但这只是 $A$ 的。

你变成 B 的概率有多大？

假如你住在北京，临近疫情期间前后并没有去过武汉。那么你逛街突然遇到一个 $A$ ，让你成为 $B$ ，这个概率有多大呢？假设所有人（包括潜伏期内的 $A$ ）每周平均逛街 3 次，每次 1 小时。假设所有人会在早上 8 点到晚上 8 点这 12 个小时内逛街。因此，某个 $A$ 出现在街上的概率为

$\frac{3\,\text{次}\times 1\,\text{小时/次}}{7\,\text{天}\times 12\,\text{小时/天}} = 0.0357 \\$

因此早 8 点到晚 8 点这个时段中，某时刻同时在街上 $A$ 的数量期望值为

$1.8\, \text{万}\times 0.0357 = 643 \\$

因为你也每周上街 3 次，每次 1 小时。因此就有机会接触这 643 个 $A$ 中的一个或多个人。我们假设“接触（相遇）”是指两人某时刻空间上的距离小于 3 米。假设所有人逛街的步行速度是 0.5 m/s，那么你每周逛街的这 3 个小时覆盖的总面积为

$2\times 3\,\mathrm{m} \times 0.5\,\mathrm{m/s} \times 3 \times 3600\,\mathrm{s} = 32400\,\mathrm{m}^2 \\$

我们假设大家都在北京四环内逛，为什么假设是四环，主要是大模头我很少出四环，最远也就去过苏家坨。四环边长约为 18 公里，四环内面积约为 324 平方公里，假设商业及娱乐面积占 1%，因此你覆盖几率为

$\frac{32400}{324\times 10^6\times 1\%} = 0.01 \\$

因此，你和某个 $A$ 相遇的概率为 $0.01^2$ 。你和所有 643 个 $A$ 都不相遇的概率为

$(1-0.01^2)^{643} = 0.9377 \\$

因此你和任意一个或多个 $A$ 相遇的概率为

$1 - 0.9377 = 0.0623 \\$

按照这一概率，春运结束 7 天后，北京将有 6.23 % 的人为 $B$ ，即

$2500\, \text{万}\times 0.0623 = 155.75\, \text{万} \\$

你变成 2B 的概率有多大？

春运结束 7 天后，北京疫情开始出现（潜伏期为 7 天）。所有 $A$ 都被隔离，因此不会有新的 $B$ 再出现。假设所有人都因为疫情减少了逛街的频率，改为一周逛街一次（买点必需品）。因此某个 $B$ 出现在街上的概率为

$\frac{1\,\text{次}\times 1\,\text{小时/次}}{7\,\text{天}\times 12\,\text{小时/天}} = 0.0119 \\$

因此早 8 点到晚 8 点这个时段中，同时在街上 $B$ 的数量期望值为

$155.75\, \text{万}\times 0.0119 = 18534 \\$

因为你每周也逛街 1 个小时，你覆盖面积的几率为

$\frac{2\times 3\,\mathrm{m} \times 0.5\,\mathrm{m/s} \times 3600\,\mathrm{s}}{324\times 10^6\times 1\%} = 0.005 \\$

你和某个 $B$ 相遇的概率为 $0.005^2$ ，因此你和所有 18534 个上街的 $B$ 都不相遇的概率为

$(1-0.005^2)^{18534} = 0.6292 \\$

因此你和任意一个或多个 $B$ 相遇的概率为

$1 - 0.6292 = 0.3708 \\$

因此你逛一小时成为 $2B$ 的概率为 37.08 %。

结论

以下结论都建立在本文不太靠谱的假设前提下：

春运结束 7 天内，你逛街一个小时成为 $B$ 的概率为 3.1 %。
春运结束 7 天后，你逛街一个小时成为 $2B$ 的概率高达 37 %。因此要少逛街，非要逛就带口罩。
本文没有计算 $A^2$ ， $A^2B$ ， $3B$ ，等其它各种情况。

参考资料

[1] 人民日报微博。武汉市市长：约500多万人离开了武汉: http://news.china.com.cn/2020-01/26/content_75650784.htm

[2] 智能交通技术。500多万人离开了武汉！大数据告诉你他们都去了哪里？: https://www.shangyexinzhi.com/article/details/id-468766

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