EM算法学习笔记

EM算法学习笔记

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[url=]一．EM[/url]算法解决的问题

要了解EM算法，就先了解这个算法是干啥的，十大算法之一头衔怎么来的。当然这个头衔是专家们投票得来，只是这个投票跟现在的选秀节目投票不一样，EM是凭借硬实力胜出的，有铁杆粉丝称之为“神的算法”。

EM算法之前，先要了解极大似然估计方法，这个在转发的博文《从最大似然到EM算法浅解》里面有讲解了。

极大似然估计能解决很大一部分的参数估计问题了，类似逻辑回归，RBM等等，都看到了它的影子，确实及其常用。

然而极大似然估计也是有极限的，起码基本的要求是：样本都是来自同一个分布的，然后就帮忙估计这个分布的参数（如高斯分布，就估计均值和方差，这两个量都是参数）。

当遇到下面的情况：样本来自多个分布的。简单地说就是样本的一部分来自分布A，又有一部分来自分布B，……，这样就有多个分布了（当然，资深的数学爱好者还会认为这么说不对，他们认为应该是样本里面的每一个个体都是一部分属于分布A，一部分属于分布B，……，也就是说样本的每个个体都是按概率属于多个分布的）。然后还有一个制约就是：每个样本都不知道来自哪个分布的。

要估计这么多个分布的参数，极大似然估计就不行了，这一团糟的场面它处理不了。

EM算法就是专门解决这种疑难杂症的，方法也快刀斩乱麻：直接每个个体胡乱指一个分布，然后就分别去估计每个分布的参数；估好后再根据情况把每个个体调节一下，该属哪个分布就分配到哪个去，然后再估计每个分布的参数（江湖上也是这么来的，一开始小弟们都随便认个老大，结成各个帮派，然后帮派之间又选取新老大，选完后不爽的小弟就跳槽到他爽的老大那去；跳完后各个帮派又开始选老大，小弟又洗牌，最后稳定下来的，就成了江湖）。

为了方便描述，举个例子，暂且认为江湖上只有两个门派，高富帅派和矮穷丑派。有一天武林要举行炫富大赛，两大门派都派了4名高手去参加比赛。比赛过程不多说了，倒是这次比赛亮出来的财富亮瞎了某武林高手的狗眼，他很生气，就派人抓了这8个人，当然为了比赛，这8位高手都穿得西装革履的，外表看不出来哪个帮派的。这位高手很想知道哪些人是高富帅派的，哪些是矮穷丑派的，而且还想知道这两派的实力，所以要知道这两派的财富的均值和方差，还要知道两派分别来了多少人。

这个时候，这位高手就只能用EM算法了。

二．EM算法数学描述

EM算法分两步，E步和M步，总的流程如下：

E步：对于每一个样本，计算这个样本属于各个分布的概率（指派每个样本个体的归属，也就是求出来每个样本属于各个分布的概率，从而确定这个分布的概率密度函数，离散型的就是求到了概率）

M步：最大化似然Q函数，求得参数θ（这个θ包括了样本所属的每个分布的里面的所有参数，如100个高斯分布，就求出了100个均值和100个方差），Q函数定义如下

其中的表示样本xi属于各个分布的概率密度函数，注意z这个东西，它可能有多种取值，也可能是个向量，甚至是连续的。是离散的情况的时候，只需要求每一种情况的概率，如果z^((i) )是连续值的时候，要用概率密度函数或者概率函数表示，表示参数θ的上一轮的迭代值或者初始值。
总之在E步就需要得到每个样本所属的类别，这个类别指定可能只需要用一些简单的量，那就把这个量求出来就可以了。E步求这个“所属类别”的目的是为了写出Q函数的形式来，而且这个形式不带着隐变量，也就是z这个东西。这样是为了保证能在求解问题的过程中不需要考虑隐变量，从而能想求解极大似然那样，得到一个闭式解或者迭代的解法。
M步中的那个Q函数（名字千百种，这里就叫这种吧），是每个样本个体的对数似然函数在条件概率分布下的期望（注意求期望其实是求积分），然后再对每个样本的值都累加起来，得到了总的最大化的目标。


三．EM算法数学基础来些数学上的描述，把符号交代一下吧。
问题可以描述成：给定观测到的样本集合x1,x2,x3…,xn，目标是找到每一个样本个体隐含的类别z（注意z可能是由一个向量表示的），使得p(x,z)最大。
解法还是极大似然那一套，目标函数定义为

要求的参数原来是θ，但是无端端多了个z，就不好办了，闭式的迭代式都搞不出来了。
搞不出来也得想办法搞，观察样本个体xi的对数似然，再看联合概率，先不管参数θ，用贝叶斯定理展开


取样本xi对隐变量z的分布（也就是样本xi属于各个类别的概率）的总和，得到下面的全概率

把上面的东西加上来

这里可以看到，每个样本的对数似然函数都分成了两部分，分开讨论吧，令

                         （1）
那么可以用下面的示意图来表达对数似然函数值的分解

每个样本个体都可以这样划分的，所以对数似然函数变成了下面的样子

前半部分就是Q函数，后半部分就是每个样本p分布和q分布的KL距离。
再看看E步做的事情，，这样的结果令每个样本的q和p分布相同了，那么就会出现KL(q||p)的值为0，这是KL距离的定义，但是由于等式（1）的存在，所以总的lnp(x_i;θ)值是不变的，那么就是L(q,θ)的值提高了，这就保证了的累加和的下界被提高了，也就是对数似然函数的下界提高了。就像下面的图表示的一样。

再来看看M步做的事情，求Q函数的最大化，获取了新的θ值θ^new。这样导致的结果就是Q函数的值提升了，而且p和q分布又不一致了，KL距离再度变大了，从而整体的对数似然函数的值也提升了。就像下面的图表示的一样。

这样两步不断地做，对数似然函数就不断地被提升，直到逐渐收敛到一个对数似然函数序列的稳定点。如下面的示意图。

当然不能保证收敛到极大值点。初值选取对这个也有影响的，这个就不多讨论了。



四．EM算法实际例子现在开始看（一）的那个例子，假设这八个人的财富值分别是0.8,0.9,1.0,1.3,9.8,9.9,10.0,10.3。
一开始不知道怎么搞，当然在之前就认为他们各自的财富属于一个正态分布的，就乱假设：
假设矮穷丑派是1类，高富帅派是2类，用k指定，
再假设矮穷丑派财富均值，标准差，也就是；
再假设高富帅派财富均值，标准差，也就是；
当然，需要的话可以把这个写成一个矩阵，这里就不纠结符号的写法了
再假设矮穷丑派的人数比例是，高富帅派的人数比例是。
一、开始E步，计算每个样本归属，首先计算每个样本属于每个类别的概率值，根据

来计算，得到一个样本归属的矩阵A
0.0167 0.0001
0.0342 0.0001
0.0659 0.0001
0.3229 0.0001
0.0001 0.1111
0.0001 0.0067
0.0001 0.0038
0.0001 0.0007
又因为，这里要注意，这个联合概率还是得好好理解的，不然就混了。根据公式计算每个样本属于每个类的概率，再归一化后得到如下矩阵B，这个就是指派矩阵了。第一行说明第一个样本个体有0.9999的概率属于矮穷丑派，只有0.0001的概率属于高富帅派。
0.9999 0.0001
0.9999 0.0001
0.9999 0.0001
0.9999 0.0001
0.0009 0.9991
0.0147 0.9852
0.0256 0.9743
0.1250 0.8750

二、开始M步
最大化Q函数

其中i=1,2……8，k=1,2。
且
把上面的值代进去，然后解这个优化问题，得到参数。

从这组参数看来，已经相当靠谱了，再迭代一轮，基本到最优解了。
搞几轮就能知道，矮穷丑派的财富均值是1.0,方差是0.1870，有4个人；高富帅派的财富均值是10.0，方差是0.1870，也有4个人。
还有就是注意那个Q函数的问题，其实分母是没啥用的，常量，可以考虑去掉再做最优化。



[url=]致谢[/url]

[url=]互联网上JerryLead[/url]，zouxy09等多位博主以及LeoZhang的指导。

李航的书，以及PMLR的作者。

[url=]参考文献[/url]

[1] http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8537620 @ zouxy09的博客

[2] http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html@JerryLead的博客

[3]《统计学习方法》 李航